книги / Теоретическая механика и её приложения к решению задач биомеханики

8.3.1. Пример. Кинетический момент человека

Зная движение всех сегментов тела человека, определить его ки­ нетический момент относительно неподвижной оси, перепендикулярной сагиттальной плоскости. Рассмотреть движение сегментов тела в сагиттальной плоскости (плоская модель движения человека).

Решение. Мысленно разобьем тело человека на п сегментов.

В достаточно полных моделях принимают п = 14: голова, туловище

ипо паре плеч, предплечий, кистей, бедер, голеней, стоп. Иногда туловище разбивают даже на 3 части: нижний, средний и верхний отделы [11]. В простых моделях, но дающих неплохие результаты, например при ходьбе, оставляют 7 частей: туловище с головой и ру­ ками, по паре бедер, голеней и стоп.

Введем следующие обозначения: у, — координаты центров масс сегментов, Mt и J C{ — их массы и моменты инерции относи­ тельно осей, проходящих через центры масс сегментов перпендику­

лярно сагиттальной плоскости, со, — угловые скорости сегментов. Каждый сегмент совершает плоскопараллельное движение. Тогда, применяя для каждого сегмента формулу (8.24), получим кинетиче­ ский момент человека относительно любой неподвижной оси, пер­ пендикулярной сагиттальной плоскости:

K z	- у,*,) + Х У с ® ,.		(8.25)
/=1		i=i
Ниже приведены радиусы инерции сегментов тела человека р,
отнесенные к длине сегмента £ [11] (Jc, =		).
Сегмент:	Р/*(%)
плечо	33
предплечье	30
кисть	29
бедро	27
голень	28
стопа	26

Сведения о массах сегментов и положении их центров масс приведены в табл. 7.1. Практическое определение кинематики дви­ жения человека обсуждалось в примере 2.2.1.1.

8.4.Контрольные вопросы

1.Определить момент количества движения материальной точ­ ки относительно оси, параллельной вектору количества дви­ жения.

2.Две материальные точки с массами т{ и т2движутся по ок­ ружности радиусом R со скоростями Uj и о2. Определить ки­ нетический момент этой системы относительно оси симмет­ рии окружности, если с ее конца видно вращение точек про­ тив часовой стрелки.

Глава 9. ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ

КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА

МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Эти теоремы рассмотрены в обзорной главе 5. Повторим все выводы в более детальном изложении и добавим полные формули­ ровки теорем. Начнем с описания движения материальной точки.

9.1. Теоремы о моменте количества движения материальной точки относительно центра и оси

В основе вывода теорем лежит II закон Ньютона:

т

Л

Чтобы в левой части уравнения перейти к производной от мо­ мента количества движения г х /пи, умножим обе части равенства на радиус-вектор точки F:

г х т— — г xF .	(9.1)
dt

Оказывается, что функцию г (t) можно внести в (9.1) под знак производной. Докажем это.

(9.2)

Первое слагаемое в правой части равенства обращается в нуль, и с учетом (9.2) уравнение (9.1) примет вид

dt

или

ТЕОРЕМА. Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно центра равна моменту относительно того же центра приложенной к ней силы.

Запишем (9.3) в проекции на ось z с учетом связи между момен­ тами (8.6):

^ [ m z{rm5)] = mt (F).

(9.4)

ТЕОРЕМА. Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно оси равна моменту от­ носительно той же оси приложенной к ней силы.

9.2. Теоремы о кинетическом моменте системы относительно центра и оси

Рассмотрим механическую систему, состоящую из п матери­ альных точек. Положение произвольной точки системы массы тк определяется радиусом-вектором гк, ее скорость равна и* и на нее действуют внешняя i v и внутрен­

няя Fk силы (рис. 9.1).

Запишем теоремы вида (9.3)

о моменте	количества движения
для всех точек механической сис­
темы:
	и*)] =
= от0	+	то (Fk )>
Рис. 9.1	к = 1,	п

и просуммируем по всем точкам системы. Знак производной вынесем из-под знака суммы:

j J 2 M mi‘'5k )= J 2 ш°(F«e) + Е шо (Fk‘)

ai к--А

к=1

к=1

и, используя свойство внутренних сил (4.2) и определение кинети­ ческого момента (8.10), получим уравнение

^at = к=\

(9.5)

ТЕОРЕМА. Производная по времени от кинетического момен­ та системы относительно неподвижного центра равна геометриче­ ской сумме моментов относительно этого же центра всех действую­ щих на систему внешних сил.

Так же, как и в теореме о количестве движения системы (6.9), изменение со временем К 0 явно связано только с действием внеш­

них сил. Внутренние силы на кинетический момент могут влиять лишь косвенно.

Для получения теоремы в координатной форме обе части ра­ венства (9.5) спроектируем на одну из координатных осей и учтем, что проекция момента относительно центра на ось равна моменту относительно оси (8.11):

^ т

ТЕОРЕМА. Производная по времени от кинетического момен­ та системы относительно неподвижной оси равна алгебраической сумме моментов относительно той же оси всех действующих на систему внешних сил.

Теоремы (9.5) и (9.6)— теоремы о кинетическом моменте меха­ нической системы относительно центра и оси — записаны в диффе­ ренциальной форме. В конечной форме эти теоремы применяются лишь в теории удара [22].

Условия сохранения кинетического момента относительно центра и оси получаются из (9.5) и (9.6) в частных случаях действия внешних сил:

1. Если геометрическая сумма моментов всех внешних сил от­ носительно неподвижного центра равна нулю, то кинетический мо­ мент системы относительно этого центра сохраняется,

п	_	_
У2 щ (Fk ) = 0=> — - = 0 =Ф К 0 = const.			(9.7)
Ы1		dt

Рис. 9.2

2. Если алгебраическая сумма моментов всех внешних сил от­ носительно неподвижной оси равна нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси сохраняется,

iT m J F le) = 0 = > ^ = 0=>Kz = const.		(9.8)
м К '	'Л

Указанные свойства механических систем проявляются во мно­ гих явлениях природы, техники, в частности, в биомеханике. Если при вращении деформируемого твердого тела, угловая скорость ко­ торого является общей характеристикой точек тела, кинетический момент относительно неподвижной оси сохраняется, то с учетом (8.15) сохранение К2может быть записано в виде

J ziв = const,

(9.9)

где J2— момент инерции тела, ю — его угловая скорость.

Изменяя осевой момент инерции, управляют угловой скоростью фигуристы, гимнасты, прыгуны в воду. Закон сохранения Кгпроявля­ ется при толкании ядра, метании диска и в других видах спорта.

9.2.1. Пример. Тройной прыжок фигуриста

Оценить угловую скорость фигуриста после завершения трой­ ного прыжка при высоте прыжка 0,5 м (рис. 9.2).

Решение. Сначала оценим угловую скорость фигуриста в основной фазе прыж­ ка. Мы предполагаем, что фигурист перед отрывом ото льда минимизирует момент инерции и сразу после приземления увели­ чивает его. Таким образом, в фазе прыжка угловая скорость фигуриста считается по­ стоянной (пренебрегаем силами сопротив­ ления) и ее легко найти. Время взлета и сво­ бодного падения в поле потенциальных сил одинаково, и суммарное время прыжка Т найдем из уравнения свободного падения:

h = \ s t 2,

Т = 2

где А — высота прыжка. При А = 0,5 м время Т= 0,64 с. Прыжок тройной, поэтому время одного оборота t\ = Т /3 —0,21 с.

Угловая скорость вращения ©i = 2тс/^ = 30 с’1, или около 5 оборотов в секунду.

Рассмотрим завершающую фазу прыжка. Фигурист разводит в сторону руки и отводит ногу, чтобы максимально увеличить мо­ мент инерции относительно оси вращения. По данным работы [14], в это время момент инерции J2= 8 кг-м2. В основной фазе полета J, = 1,2 кг-м2. Полагаем, что

Х > 2( / Г ) = о,

к=\

откуда следует условие сохранения кинетического момента для вращающегося тела (9.9):

1/ 2 ( 0 2	—«/1® i >
1,2-30
©2 = —	4,5 с-1,

или 0,7 оборота за 1 секунду. Угловая скорость существенно зави­ сит от высоты прыжка А. Она обратно пропорциональна л/а.

9.3. Дифференциальное уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси

Применим теорему о кинетическом моменте относительно оси (9.6) к частному случаю движения системы — вращению абсолют­ но твердого тела вокруг неподвижной оси. В этом случае кинетиче­ ский момент К г —J zco и теорема (9.6) примет вид

f M = ± m ,( F k'). к=1

Если тело абсолютно твердое, то момент терции Jz= const и его можно вынести за знак производной. Учитывая, что угловая

скорость со равна 1-й производной по времени от угла поворота <р, получим уравнение

Z dt2	X > ( # >	(9.10)
	к=1

дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Уравнение связывает угол tp поворо­ та тела с внешними силами, приложенными к нему. Угловое уско­ рение, стоящее в левой части уравнения (9.10), можно представить по-разному:

d(a	dco	d 2cp
—	= со —	(9.11)
dt	dtp	'dt2

и в зависимости от условия задачи и метода решения выбирать раз­ личную форму представления.

9.3.1. Пример. Вращение фигуриста

Фигурист начал	вращаться на	льду с угловой	скоростью
©o = 6rtc“', стоя на	двух коньках,	расстояние между	которыми

d =0,4 м. Определить время полного торможения фигуриста, приняв в качестве его модели сплошной круглый цилиндр радиусом г = 0,2 м.

Коэффициент трения для материалов сталь—лед / =	0,014 [28].
Решение. Запишем дифференциальное уравнение (9.10) в виде
Л	(9.12)

На рис. 9.3 изображен вид модельного тела сверху. Сила тяже­ сти и нормальные составляющие реакции льда на рисунке не изо­

	бражены, т. е. их проекции на гори­
	зонтальную плоскость равны нулю.
	Пару сил создают силы трения
	Fjf = F{p, каждая из которых равна
	JMg/2, где М — масса фигуриста.
	Плечо пары равно d. Момент инер­
	ции однородного сплошного ци­
	линдра J г = Mr2/ 2. Тогда уравне-
Рис. 9.3	ние (9.12) примет вид

и после интегрирования получим

....	'	л
шо		О

Для данных условий задачи время торможения / = 14 с. При уменьшении расстояния между коньками d время торможения бу­ дет увеличиваться.

9.4.Теорема об изменении кинетического момента

вотносительном движении

Рассмотрим относительное движение механической системы по отношению к системе Кёнига, началом которой служит центр масс С механической системы и которая движется поступательно. При ас ^ 0 эта система является неинерциальной. Для описания движения каждой точки механической системы дополнительно к действую­ щим на нее силам надо условно приложить переносную и кориолисо­ ву силы инерции материальной точки (глава 3). Так как переносное движение поступательное, то переносное ускорение равно ускоре­ нию центра масс, а кориолисово ускорение обращается в нуль.

В теореме (9.5) к внешним силам добавим только переносные силы инерции:

(9.13)

где К с — кинетический момент механической системы относительно центра в ее движении по отношению к системе Кёнига. Покажем, что в (9.13) последняя сумма обращается в нуль. Учтем, чюР™ = —ткас:

так как радиус-вектор центра масс в подвижной системе г'е - 0. Окончательно имеем

^	= £ * ( * ' ) •	<»•'<>
ai	к=1

ТЕОРЕМА. Производная по времени от кинетического момен­ та системы относительно ее центра масс в движении по отношению к системе Кёнига равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно центра масс.

Уравнение (9.14) совпадает с уравнением (9.5), выражающим теорему о кинетическом моменте в абсолютном движении. По ана­ логии с (9.6) запишется теорема о кинетическом моменте относи­ тельно оси, проходящей через центр масс системы:

(915)

ТЕОРЕМА. Производная по времени от кинетического момента механической системы в системе Кёнига относительно оси, проходя­ щей через центр масс и движущейся поступательно, равна алгебраи­ ческой сумме моментов всех внешних сил относительно этой оси.

Ввиду совпадения уравнений (9.14) и (9.15) с уравнениями (9.5) и (9.6) условия сохранения кинетического момента относительно центра и проходящей через него оси в относительном движении будут такими же, как (9.7) и (9.8):

*=1	= 0 =>•К с = const,	(9.16)
	dt
- o	^ dK*' = 0 =Ф- К'сг’ = const.	(9.17)
*=1	dt

9.4.1. Пример. Прыжок в воду с 10-метровой выш ки

Определить, с какой минимальной угловой скоростью прыгун с 10-метровой вышки войдет в воду, совершив 1,5 оборота вокруг фронтальной оси (рис. 9.4).

Решение. Идеальный способ вхождения в воду можно пред­ ставить следующим образом. При отталкивании от трамплина